Копула

---

Ко́пула (лат. copula «соединение, связка») — многомерная функция распределения, определённая на ${\displaystyle n}$-мерном единичном кубе ${\displaystyle [0,\;1]^{n}}$, такая, что каждое её маргинальное распределение равномерно на интервале ${\displaystyle [0,\;1]}$.

Теорема Склара заключается в следующем: для произвольной двумерной функции распределения ${\displaystyle H(x,\;y)}$ с одномерными маргинальными функциями распределения ${\displaystyle F(x)=H(x,\;\infty )}$ и ${\displaystyle G(y)=H(\infty ,\;y)}$ существует копула, такая что

где мы отождествляем распределение ${\displaystyle C}$ с его функцией распределения. Копула содержит всю информацию о природе зависимости между двумя случайными величинами, которой нет в маргинальных распределениях, но не содержит информации о маргинальных распределениях. В результате информация о маргиналах и информация о зависимости между ними отделяются копулой друг от друга.

Минимальная копула — нижняя граница для всех копул, только в двумерном случае соответствует строго отрицательной корреляции между случайными величинами:

Максимальная копула — верхняя граница для всех копул, соответствует строго положительной корреляции между случайными величинами:

где ${\displaystyle \psi }$ называется функцией-генератором. Такие копулы называются архимедовыми. Любая функция-генератор, которая удовлетворяет приведённым ниже свойствам, служит основой для правильной копулы:

---