Функция распределения

---

Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина ${\displaystyle X}$ примет значение, меньшее ${\displaystyle x}$, где ${\displaystyle x}$ — произвольное действительное число. При соблюдении известных условий (см. ниже) полностью определяет случайную величину.

Пусть дано вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$, и на нём определена случайная величина ${\displaystyle X}$ с распределением ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$. Тогда функцией распределения случайной величины ${\displaystyle X}$ называется функция ${\displaystyle F_{X}\colon \mathbb {R} \to [0,1]}$, задаваемая формулой

То есть функцией распределения (вероятностей) случайной величины ${\displaystyle X}$ называют функцию ${\displaystyle F(x)}$, значение которой в точке ${\displaystyle x}$ равно вероятности события ${\displaystyle \{X\leqslant x\}}$, то есть события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых ${\displaystyle X(\omega )\leqslant x}$.

Внимание! Ниже записаны свойства для другого определения функции распределения - для непрерывной слева!

Из свойств вероятности следует, что ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\;\forall a,b\in \mathbb {R} }$, таких что ${\displaystyle a<b}$:

Если случайная величина ${\displaystyle X}$ дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности

---