Кривая Серпинского

---

Кривые Серпинского — это рекурсивно определённая последовательность непрерывных замкнутых плоских фрактальных кривых, открытых Вацлавом Серпинским. Кривая в пределе при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ полностью заполняет единичный квадрат, так что предельная кривая, также называемая кривой Серпинского, является примером заполняющих пространство кривых.

Поскольку кривая Серпинского заполняет пространство, её размерность Хаусдорфа (в пределе при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$) равна ${\displaystyle 2}$.
Евклидова длина кривой

т. е. она растёт экспоненциально по ${\displaystyle n}$, а предел при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ площади области, заключённой кривой ${\displaystyle S_{n}}$, составляет ${\displaystyle 5/12}$ квадрата (в евклидовой метрике).

Кривая Серпинского полезна для некоторых практических приложений, поскольку она более симметрична по сравнению с другими обычно рассматриваемыми заполняющими пространство кривыми. Например, она использовалась в качестве базиса для быстрого построения приближённого решения задачи коммивояжёра (которая ищет кратчайший обход заданных точек) — эвристическое решение заключается в посещении точек в той последовательности, в какой они встречаются на кривой Серпинского^[1]. Для осуществления требуется два шага. Сначала вычисляется обратная позиция каждой точки, затем значения сортируются. Эта идея использовалась для системы маршрутизации коммерческих машин, которая базировалась только на карточках Rolodex^[2].

На основе кривой Серпинского могут быть реализованы вибраторные либо печатные конструкции антенн^[3].

---