Кривая
В рамках элементарной геометрии понятие кривой не получает отчётливой формулировки. Например, в «Началах» Евклида она определялась как «длина без ширины», также иногда её определяли как «границу фигуры».
По существу в элементарной геометрии изучение кривых сводится к рассмотрению примеров (прямая, отрезок, ломаная, окружность и др.). Не располагая общими методами, элементарная геометрия довольно глубоко проникла в изучение свойств конкретных кривых (конические сечения, некоторые алгебраические кривые высших порядков и некоторые трансцендентные кривые), применяя в каждом случае специальные приёмы.
Чаще всего кривая определяется как непрерывное отображение из отрезка в топологическое пространство:
При этом кривые могут быть различными, даже если их образы совпадают. Такие кривые называют параметризованными кривыми или, если , путями.
![{\displaystyle [a,b]=[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9de4d2b73008f49dd28f604a83a1e7423a8f7028)
Иногда кривая определяется с точностью до репараметризации, то есть с точностью до минимального отношения эквивалентности такого что параметрические кривые
эквивалентны, если существует непрерывная монотонная функция (иногда неубывающая) из отрезка на отрезок , такая что
![{\displaystyle [a_{1},b_{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90b50cd52227fb045ffb69b5802b79b7b539e8d2)
![{\displaystyle [a_{2},b_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2cae95a31bf77847185496288d80966494407a6)