Критерий Коши

Критерий Коши — критерий существования предела. Условие критерия Коши похоже на определение предела, но в отличие от определения критерий в своём условии нигде не использует конкретное значение предела. Это позволяет доказывать существование предела, не зная ничего о его конкретном значении. Существует много различных формулировок критерия Коши для различных объектов анализа: последовательностей, рядов, интегралов, функций и так далее.

Пусть $a_{n}$ — числовая последовательность (последовательность с элементами из $\mathbb {R}$ ).

$a_{n}$ имеет предел в $\mathbb {R}$ тогда и только тогда, когда:

Условие, накладываемое на последовательность в критерии Коши, называется условием Коши. На первый взгляд критерий Коши не сильно проще определения предела, однако это совсем не так. Определение предела формулируется для уже известного значения предела. Чтобы доказать существование предела через определение, нужно заранее знать, чему этот предел будет равен. Опровержение же условия в определении предела будет обозначать лишь то, что конкретно это рассмотренное нами значение не является пределом, но совершенно ничего не будет говорить о том, является ли какое-то другое значение пределом или нет. Для доказательства несуществования предела нужно будет проверить все возможные значения пределов. Критерий Коши же имеет похожее условие но без использования значения предела последовательности, что позволяет его использовать без знания какой-либо информации о возможном значении предела.

Требование в условии того, что предел действительное число весьма существенно. На рациональные числа критерий Коши не переносится: последовательность из рациональных чисел может сходиться к иррациональному числу. Таким образом она удовлетворяет условию Коши, но в рациональных числах предела не имеет. Противоположный пример: расширенная числовая прямая. Последовательность, стремящаяся к бесконечности, не удовлетворяет условию Коши. Но на некоторые множества критерий Коши обобщить всё же можно. К примеру, везде в формулировке можно заменить $\mathbb {R}$ на $\mathbb {R} ^{n}$ , или рассматривать комплексные числа вместо действительных. Об обобщении критерия Коши на другие множества будет сказано далее.