Расширенная числовая прямая

---

Расширенная (аффинно расширенная) числовая прямая — множество вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, дополненное двумя бесконечно удалёнными точками: ${\displaystyle +\infty }$ (положительная бесконечность) и ${\displaystyle -\infty }$ (отрицательная бесконечность), то есть ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{+\infty ;-\infty \}=[-\infty ;+\infty ]}$. Следует понимать, что ${\displaystyle -\infty ,+\infty }$ не являются числами и имеют немного иную природу, но для них, как и для вещественных чисел, тоже определено отношение порядка. Также сами элементы ${\displaystyle -\infty }$ и ${\displaystyle +\infty }$ считаются неравными друг другу.^[1]

При этом для любого вещественного числа ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ по определению полагают выполненными неравенства ${\displaystyle -\infty <x<+\infty }$. В некоторых дидактических материалах термин «расширенная числовая прямая» используется по отношению к числовой прямой, расширенной одной бесконечно удалённой точкой, не связанной с действительными числами отношением порядка, поэтому иногда для уточнения прямую с одной бесконечностью называют проективно расширенной, а с двумя — аффинно расширенной.^[2]

Знак плюс для элемента ${\displaystyle +\infty }$ часто не опускается как у других положительных чисел для того, чтобы избежать путаницы с беззнаковой бесконечностью проективно расширенной числовой прямой. Однако иногда знак всё же опускается, и в таких случаях проективная бесконечность обычно обозначается как ${\displaystyle \pm \infty }$.

---