Круговой многочлен

---

представляет собой корень степени ${\displaystyle n}$ из единицы, а произведение берётся по всем натуральным числам ${\displaystyle k}$, меньшим ${\displaystyle n}$ и взаимно простым с ${\displaystyle n}$.

Из этой сводки можно сделать ошибочный вывод, что ненулевые коэффициенты кругового многочлена всегда равны ${\displaystyle \pm 1,}$ но это предположение неверно. Первый контрпример даёт 105-й многочлен:

Одним из важнейших приложений круговых многочленов является теорема о мультипликативной группе конечного поля:

Теорема. Мультипликативная группа ${\displaystyle K^{*}}$ конечного поля ${\displaystyle K}$ является циклической группой.

Доказательство. Пусть поле ${\displaystyle K}$ состоит из ${\displaystyle n+1}$ элемента, тогда его мультипликативная группа (группа обратимых элементов) ${\displaystyle K^{*}}$ содержит все элементы поля, кроме нуля, то есть состоит из ${\displaystyle n}$ элементов. По теореме Лагранжа порядок элемента группы делит порядок этой группы, следовательно, для любого элемента ${\displaystyle a\in K^{*}}$ выполнено ${\displaystyle a^{n}=1}$, то есть все элементы из ${\displaystyle K^{*}}$ являются корнями уравнения ${\displaystyle x^{n}-1=0}$. Тогда

так как все корни левой части являются корнями правой части и степени и старшие члены обоих многочленов равны.

---