Корни из единицы

---

Корни n-й степени из единицы — комплексные корни многочлена ${\displaystyle x^{n}-1}$, где ${\displaystyle n\geqslant 1}$. Другими словами, это комплексные числа, n-я степень которых равна 1. В общей алгебре рассматриваются также корни многочлена ${\displaystyle x^{n}-1}$ не только в комплексном, но и в произвольном ином поле, характеристика ${\displaystyle p}$ которого не является делителем степени ${\displaystyle n}$ многочлена^[1].

Корни из единицы широко используются в математике, особенно в теории чисел, быстром преобразовании Фурье^[2], теории расширений полей, теории построений циркулем и линейкой, представлениях групп.

Тогда по формуле Муавра получим выражение^[3] для ${\displaystyle k}$-го корня n-й степени из единицы ${\displaystyle u_{k}}$:

Из этих формул вытекает, что корней n-й степени из единицы всегда ровно ${\displaystyle n}$, и все они различны^[3].

Для корня 5-й степени имеются 4 порождающих элемента, степени каждого из которых охватывают все корни 5-й степени:

Для корня 6-й степени порождающих элементов только два (${\displaystyle u_{1}}$ и ${\displaystyle u_{5}}$):

---