Характеристика (алгебра)

---

Характеристика — числовая величина, используемая в общей алгебре для описания некоторых свойств колец или полей.

Для кольца ${\displaystyle R}$ характеристикой ${\displaystyle \mathop {\mathrm {char} } R}$ называется наименьшее целое ${\displaystyle n>0}$ такое, что для каждого элемента ${\displaystyle r\in R}$ выполняется равенство:

а если такого числа не существует, то предполагается ${\displaystyle \mathop {\mathrm {char} } R=0}$.

Если кольцо содержит натуральные числа, умножение определено обычным способом, и кольцо имеет единицу, то характеристика может быть определена как наименьшее ненулевое натуральное число ${\displaystyle n}$ такое, что ${\displaystyle n\cdot 1=0}$; если же такого ${\displaystyle n}$ не существует, то характеристика равна нулю.

Характеристики кольца целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, поля рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, поля вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, поля комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ равны нулю. Характеристика кольца вычетов ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ равна ${\displaystyle n}$. Характеристика конечного поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{m}}}$, где ${\displaystyle p}$ — простое число, ${\displaystyle m}$ — положительное целое, равна ${\displaystyle p}$.

Тривиальное кольцо с единственным элементом ${\displaystyle 0=1}$ — единственное кольцо с характеристикой ${\displaystyle 1}$.

---