Конечное поле

---

Коне́чное по́ле, или по́ле Галуа́ в общей алгебре — поле, состоящее из конечного числа элементов; это число называется поря́дком поля.

Конечное поле обычно обозначается ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ или ${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$ (сокращение от англ. Galois field) и называется полем Галуа порядка ${\displaystyle q}$, где ${\displaystyle q}$ — число элементов поля^[1]. С точностью до изоморфизма конечное поле полностью определяется его порядком, который всегда является степенью какого-нибудь простого числа, то есть ${\displaystyle q=p^{n}}$, где ${\displaystyle p}$ — простое число, а ${\displaystyle n}$ — любое натуральное число. При этом ${\displaystyle p}$  будет являться характеристикой этого поля^[2].

Понятие конечного поля используется в теории чисел^[3], теории групп^[3], алгебраической геометрии^[3], криптографии^[4].

Конечным полем называется конечное множество, на котором определены произвольные операции, называемые сложением, умножением, вычитанием и делением (кроме деления на 0) в соответствии с аксиомами поля^[5].

Мультипликативная группа конечного поля циклична. То есть все ненулевые элементы поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ образуют группу относительно операции умножения (эта группа называется мультипликативной группой поля и обозначается ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{*}}$). Эта группа является циклической, то есть в ней есть порождающий элемент, а все остальные элементы получаются возведением в степень порождающего^[5]. То есть, существует ${\displaystyle g}$ — порождающий элемент, такой что для любого ${\displaystyle a\in \mathbb {F} _{q}^{*}}$, можно записать:

${\displaystyle \exists n:g^{n}=a\mod q}$.

---