Генератор группы

---

Генератор группы (инфинитезимальный оператор) — понятие, используемое в теории групп Ли. Генераторы группы ${\displaystyle G}$ — это элементы, образующие базис её алгебры Ли, или, в общем случае, базис алгебры Ли образа группы ${\displaystyle G}$.

Генератор является производной операторного (или матричного) представления элемента группы по некоторому параметру представления при нулевом значении всех параметров (предполагается без ограничения общности, что при нулевых значениях параметров оператор, представляющий данный элемент, равен единичному и соответствует единичному элементу группы). Представление произвольного элемента группы, достаточно близкого к единичному элементу, выражается линейным образом через генераторы группы (генераторы — это члены первого порядка в разложении оператора представления в степенной ряд по параметрам). Более того, при определённых слабых предположениях любой элемент группы (его представление) можно выразить через генераторы, поскольку члены второго и более высоких порядков опять-таки выражаются через генераторы. Для определённого класса связных групп Ли любой элемент группы может быть представлен с помощью экспоненциального отображения в виде ${\displaystyle \exp(A_{1}\alpha _{1}+\cdots +A_{n}\alpha _{n})}$. В частности, такое представление справедливо для односвязных коммутативных групп: свойства группы в этом случае очевидным образом следуют из тождества ${\displaystyle \exp(A+B)=\exp(A)\exp(B)}$ для коммутирующих операторов ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$. Если генераторы не коммутируют, то экспоненциальное представление для элементов группы, вообще говоря, справедливо только локально в достаточно малой окрестности единицы группы, даже если группа связна.

---