Алгебра Ли

---

А́лгебра Ли — объект общей алгебры, являющийся векторным пространством с определенной на ней антикоммутативной билинейной операцией (называемой скобкой Ли, или коммутатором), удовлетворяющей тождеству Якоби. В общем случае алгебра Ли является неассоциативной алгеброй. Названа по имени норвежского математика Софуса Ли (1842—1899).

Алгебра Ли естественно появляется при изучении инфинитезимальных свойств групп Ли. В физике группы Ли появляются как группы симметрии физических систем, а их алгебры Ли (касательные векторы, близкие к единице) могут рассматриваться как движения бесконечно малой симметрии. Группы и алгебры Ли находят широкое применение в квантовой физике.

Алгеброй Ли (иначе лиевой алгеброй) называется векторное пространство ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ над полем ${\displaystyle K}$, снабжённое билинейным отображением

Другими словами, в алгебре Ли задана антикоммутативная операция, удовлетворяющая тождеству Якоби. Эта операция называется коммутатором, или скобкой Ли.

Обычное трёхмерное векторное пространство является алгеброй Ли относительно операции векторного произведения.

Если ${\displaystyle V}$ — конечномерное векторное пространство над ${\displaystyle K}$ (${\displaystyle \mathrm {dim} \;V=n}$), то множество его линейных преобразований ${\displaystyle \mathrm {End} \;V}$ — также векторное пространство над ${\displaystyle K}$. Оно имеет размерность ${\displaystyle \mathrm {dim} (\mathrm {End} \;V)=n^{2}}$ и может быть представлено как пространство матриц ${\displaystyle n\times n}$. В этом векторном пространстве задана естественная операция умножения (композиция преобразований). Определим операцию скобки Ли формулой ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$. Пространство ${\displaystyle \mathrm {End} \;V}$ с так введённой скобкой Ли удовлетворяет всем аксиомам алгебры Ли.

---