Тождество Якоби

---

Тождество Якоби — математическое тождество на билинейную операцию ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon V\times V\rightarrow V}$ на линейном пространстве ${\displaystyle V}$. Имеет следующий вид:

Если умножение ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ антикоммутативно, то тождеству Якоби можно придать несколько другой вид, используя присоединённое представление алгебры Ли:

получим, что оно равносильно условию выполнения правила Лейбница для оператора ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}}$:

Таким образом, ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}}$ — это дифференцирование в алгебре Ли. Любое такое дифференцирование называется внутренним.

Это означает, что оператор ${\displaystyle \mathrm {ad} }$ задаёт гомоморфизм данной алгебры Ли в алгебру Ли её дифференцирований.

Пусть ${\displaystyle \Omega =\oplus _{i}\Omega ^{i}}$ — градуированная алгебра, ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ — умножение в ней. Говорят, что умножение в ${\displaystyle \Omega }$ удовлетворяет градуированному тождеству Якоби, если для любых элементов ${\displaystyle \omega _{i}\in \Omega ^{i}}$

---