Градуированная алгебра

---

Градуированная алгебра — алгебра ${\textstyle A}$, разложенная в прямую сумму ${\textstyle A=\bigoplus _{r=-\infty }^{\infty }A_{r}}$ своих подпространств ${\displaystyle A_{r}}$ таким способом, что выполняется условие ${\textstyle A_{r}A_{s}\subset A_{r+s}\ (r,s\in \mathbb {Z} )}$.^[1][2]

Алгебра A называется G-градуированной (синоним: на A задана G-градуировка), если A разлагается в прямую сумму k-модулей ${\displaystyle A_{g}}$ по всем элементам g из G, причём умножение в алгебре согласовано с умножением в полугруппе:

Если ненулевой элемент a принадлежит ${\displaystyle A_{g}}$, то он называется однородным степени g.

Когда в качестве G берут аддитивную группу целых чисел или полугруппу целых неотрицательных чисел, алгебру A называют просто градуированной.

Соответствующее понятие в теории модулей — градуированный модуль, а именно, левый модуль M над градуированным кольцом A, такой, что

Морфизм градуированных модулей ${\displaystyle f:N\to M}$ — это морфизм модулей, который сохраняет градуировку, то есть ${\displaystyle f(N_{i})\subseteq M_{i}}$.

---