Алгебра над кольцом

---

Алгебра над кольцом — алгебраическая система, которая является одновременно модулем над этим кольцом и кольцом сама по себе, причём эти две структуры взаимосвязаны. Понятие алгебры над кольцом является обобщением понятия алгебры над полем, аналогично тому как понятие модуля обобщает понятие векторного пространства.

Пусть ${\displaystyle K}$ — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Модуль ${\displaystyle A}$ над кольцом ${\displaystyle K}$, в котором для заданного билинейного отображения (билинейного не над полем, а над кольцом ${\displaystyle K}$) ${\displaystyle f\colon A\times A\rightarrow A}$ определено произведение согласно равенству ${\displaystyle ab=f(a,b)}$, называется алгеброй над ${\displaystyle K}$ или ${\displaystyle K}$-алгеброй.

Согласно определению, для всех ${\displaystyle k,\;l\in K}$ и ${\displaystyle a,\;b,\;c\in A}$ справедливы соотношения:

Для ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b\in A}$ коммутатор определён равенством ${\displaystyle [a,b]=ab-ba}$. ${\displaystyle K}$-алгебра называется коммутативной, если ${\displaystyle [a,b]=0}$.

Для ${\displaystyle a,b,c\in A}$ ассоциатор определён равенством ${\displaystyle (a,b,c)=(ab)c-a(bc)}$. ${\displaystyle K}$-алгебра называется ассоциативной, если ${\displaystyle (a,b,c)=0}$.

---