Алгебра над полем

---

Алгебра над полем — векторное пространство, снабжённое билинейным произведением. Это значит, что алгебра над полем является одновременно векторным пространством и кольцом, причём эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является алгебра над кольцом, которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а модулем над некоторым кольцом.

Алгебра называется ассоциативной, если операция умножения в ней ассоциативна; соответственно, алгебра с единицей — алгебра, в которой существует нейтральный относительно умножения элемент. В некоторых учебниках под словом «алгебра» подразумевается «ассоциативная алгебра», однако неассоциативные алгебры также представляют определённую важность.

Пусть ${\displaystyle A}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, снабжённое операцией ${\displaystyle A\times A\to A}$, называемой умножением. Тогда ${\displaystyle A}$ является алгеброй над ${\displaystyle K}$, если для любых ${\displaystyle x,y,z\in A,\;a,b\in K}$ выполняются следующие свойства:

Эти три свойства можно выразить одним словом, сказав, что операция умножения является билинейной. В случае алгебр с единицей часто дают следующее эквивалентное определение:

Умножение в алгебре над полем однозначно задаётся произведениями базисных векторов. Таким образом, для задания алгебры над полем ${\displaystyle K}$ достаточно указать её размерность ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle n^{3}}$ структурных коэффициентов ${\displaystyle c_{i,j,k}}$, являющихся элементами поля. Эти коэффициенты определяются следующим образом:

где ${\displaystyle (e_{1},e_{2},\ldots e_{n})}$ — некоторый базис ${\displaystyle A}$. Различные множества структурных коэффициентов могут соответствовать изоморфным алгебрам.

---