Дифференциальная алгебра

---

Дифференциальными кольцами, полями и алгебрами называются кольца, поля и алгебры, снабжённые дифференцированием — унарной операцией, удовлетворяющей правилу произведения. Естественный пример дифференциального поля — поле рациональных функций одной комплексной переменной ${\displaystyle C(t)}$, операции дифференцирования соответствует дифференцирование по ${\displaystyle t}$. Теория создана Джозефом Риттом (1950) и его учеником Эллисом Колчином^[en][1][2].

Дифференциальное кольцо — это кольцо R, снабжённое одним или несколькими эндоморфизмами (дифференцированиями)

для любых ${\displaystyle r_{1},r_{2}\in R}$. Подчеркнем, что в некоммутативном кольце правило ${\displaystyle d(xy)=xdy+ydx}$ может не выполняться. В безындексной форме записи, если ${\displaystyle M\colon R\times R\to R}$ — умножение в кольце, то правило произведения примет вид

где ${\displaystyle f\otimes g}$ — отображение пары ${\displaystyle (x,y)}$ в пару ${\displaystyle (f(x),g(y))}$.

Дифференциальное поле — это поле K, снабжённое дифференцированием. Дифференцирование должно подчиняться правилу Лейбница в форме

так как умножение в поле коммутативно. Дифференцирование также должно быть дистрибутивно относительно сложения:

---