Группа Ли

---

Группой Ли над полем ${\displaystyle K}$ (${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$) называется группа ${\displaystyle G}$, снабжённая структурой дифференцируемого (гладкого) многообразия над ${\displaystyle K}$, причём отображения ${\displaystyle \operatorname {mul} }$ и ${\displaystyle \operatorname {inv} }$, определённые так:

являются гладкими (в случае поля ${\displaystyle \mathbb {C} }$ требуют голоморфности введённых отображений).

Другими словами, группой Ли называется топологическая группа, если она является параметрической и если функция, задающая закон умножения, является вещественно-аналитичной^[1].

Всякая комплексная ${\displaystyle n}$-мерная группа Ли является вещественной группой Ли размерности${\displaystyle 2n}$. Всякая комплексная группа Ли по определению является аналитическим многообразием, но и в вещественном случае на любой группе Ли существует аналитический атлас, в котором отображения ${\displaystyle \operatorname {mul} }$ и ${\displaystyle \operatorname {inv} }$ записываются аналитическими функциями.

Группы Ли естественно возникают при рассмотрении непрерывных симметрий. Например, движения плоскости образуют группу Ли. Группы Ли являются в смысле богатства структуры лучшими из многообразий и как таковые очень важны в дифференциальной геометрии и топологии. Они также играют важную роль в геометрии, физике, теории дифференциальных уравнений.

Группы Ли классифицируются по своим алгебраическим свойствам (простоте, полупростоте, разрешимости, нильпотентности, абелевости), а также по топологическим свойствам (связности, односвязности и компактности).

---