Разрешимая группа

---

Понятие возникло в теории Галуа в связи с вопросом о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах: алгебраическое уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима.

Разрешимая группа — группа ${\displaystyle G}$, такая что убывающий ряд

в котором каждая следующая группа является коммутантом предыдущей, рано или поздно приводит к тривиальной подгруппе.

Можно доказать, что если ${\displaystyle H}$ — нормальная подгруппа в ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle H}$ разрешима и факторгруппа ${\displaystyle G/H}$ разрешима, то ${\displaystyle G}$ разрешима. Следовательно, следующее определение эквивалентно первому:

Разрешимая группа — это группа, для которой существует хотя бы один субнормальный ряд, в котором факторгруппы абелевы. Это значит, что существует цепочка подгрупп ${\displaystyle \{1\}=G_{0}\leqslant G_{1}\leqslant \cdots \leqslant G_{k}=G}$, такая что ${\displaystyle G_{j-1}}$ является нормальной подгруппой ${\displaystyle G_{j}}$, и ${\displaystyle G_{j}/G_{j-1}}$ — абелева группа.

---