Группа Галуа

---

Гру́ппа Галуа́ — группа, ассоциированная с расширением поля. Играет важную роль при исследовании расширений полей, в частности, в теории Галуа. Это понятие (в контексте группы перестановок корней многочлена) ввёл в математику Эварист Галуа в 1832 году.

Пусть поле K является расширением Галуа поля P. Взаимно однозначное отображение ${\displaystyle f}$ поля K на себя называется автоморфизмом, если оно сумму переводит в сумму, а произведение — в произведение, то есть если для любых элементов ${\displaystyle a,b}$ поля K справедливы равенства

Группой Галуа для данного расширения поля называется группа всех автоморфизмов поля K, сохраняющих элементы поля P: ${\displaystyle \forall a\in P\;f(a)=a}$. Обычно обозначается как G(K, P) или Gal(K, P).

Рассмотрим цепочку последовательных расширений полей: ${\displaystyle L_{1}\subset L_{2}\subset \cdots \subset L_{n}.}$ Построим группу Галуа для полей, крайних в цепочке: ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L_{n},L_{1}).}$ Согласно основной теореме теории Галуа, каждому промежуточному полю ${\displaystyle L_{k}}$ в цепочке расширений соответствует подгруппа ${\displaystyle G_{k}}$ группы G, то есть цепочке расширений полей можно сопоставить цепочку вложенных подгрупп, которая сужается от G до тривиальной подгруппы. Если рассматривать сразу все промежуточные поля (то есть поля вида ${\displaystyle L_{1}\subset X\subset L_{n}}$), данное соответствие является биекцией из множества промежуточных полей в множество подгрупп группы Галуа. При этом подгруппы, соответствующие нормальным расширениям, являются нормальными подгруппами G, и обратно.

---