Расширение поля

---

Расшире́ние по́ля (реже употребляется термин надполе) ${\displaystyle K}$ — поле ${\displaystyle E}$, содержащее данное поле ${\displaystyle K}$ в качестве подполя. Исследование расширений является важной задачей теории полей, так как любой гомоморфизм полей является расширением.

Если ${\displaystyle E}$ — поле, его подполе — это его подмножество ${\displaystyle K}$, замкнутое относительно сложения и умножения, взятия обратного и противоположного элементов и содержащее единицу, на котором введены те же операции, что и в поле ${\displaystyle E}$. В этом случае ${\displaystyle E}$ называется расширением поля ${\displaystyle K}$, заданное расширение обычно обозначают ${\displaystyle E\supset K}$ (также используются обозначения ${\displaystyle E/K}$ и ${\displaystyle K\subset E}$). Любой гомоморфизм полей инъективен, то есть является вложением. Из этого следует, что задание конкретного расширения ${\displaystyle E\supset K}$ эквивалентно заданию гомоморфизма ${\displaystyle f:K\to E}$.

Если задано расширение ${\displaystyle E\supset K}$ и подмножество ${\displaystyle S}$ поля ${\displaystyle E}$, то наименьшее подполе ${\displaystyle E}$, содержащее ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle S}$, обозначается ${\displaystyle K(S)}$ и называется полем, порождённым множеством ${\displaystyle S}$ над полем ${\displaystyle K}$. Расширения, порождённые одним элементом, называются простыми расширениями, а расширения, порождённые конечным множеством — конечно порождёнными расширениями. Элемент, порождающий простое расширение, называется примитивным элементом.

---