Вложение

---

Вложение (или включение) — специального вида отображение одного экземпляра некоторой математической структуры во второй экземпляр такого же типа. А именно, вложение некоторого объекта ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$ задаётся инъективным отображением, сохраняющим некоторую структуру. Что означает «сохранение структуры», зависит от типа математической структуры, объектами которой являются ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$. В терминах теории категорий отображение, «сохраняющее структуру», называют морфизмом.

То, что отображение ${\displaystyle f:X\to Y}$ является вложением, часто обозначают «крючковатой стрелкой» таким образом: ${\displaystyle f:X\hookrightarrow Y}$.

Для заданных ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ может быть несколько возможных вложений. Во многих случаях существует стандартное (или «каноническое») вложение — например, вложения натуральных чисел в целые, целых в рациональные, рациональных в вещественные, а вещественных в комплексные. В таких случаях обычно задают область определения ${\displaystyle X}$ с образом ${\displaystyle f(X)\subset Y}$, такую что ${\displaystyle X\subseteq Y}$.

Отображение топологических пространств ${\displaystyle f:X\to Y}$ называется вложением ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$, если ${\displaystyle f:X\to f(X)\subset Y}$ — гомеоморфизм^[1] (на ${\displaystyle f(X)}$ рассматривается топология, индуцированная с ${\displaystyle Y}$). Каждое вложение непрерывно и инъективно.

Для пространства ${\displaystyle X}$ существование вложения ${\displaystyle X\to Y}$ — топологический инвариант. Мы можем различить два пространства, если одно из них можно вложить в ${\displaystyle Y}$, а другое нельзя.

---