Теория категорий

---

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Теория категорий занимает центральное место в современной математике^[1], она также нашла применения в информатике^[2], логике^[3] и в теоретической физике^[4][5]. Современное изложение алгебраической геометрии и гомологической алгебры существенно опирается на понятия теории категорий. Общекатегорийные понятия также активно используются в языке функционального программирования Haskell^[6]. Была создана Саундерсом Маклейном и Самуэлем Эйленбергом.

Категория ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — это:

Класс объектов не обязательно является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, в которой ${\displaystyle \mathrm {Ob} _{\mathcal {C}}}$ является множеством и ${\displaystyle \mathrm {Hom} ({\mathcal {C}})}$ (совокупность всех морфизмов категории) является множеством, называется малой. Кроме того, возможно (с небольшим исправлением определения) рассмотрение категорий, в которых морфизмы между любыми двумя объектами также образуют класс или даже большую структуру^[7]. В этом варианте определения категория, в которой морфизмы между двумя зафиксированными объектами образуют множество, называется локально малой.

Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы. Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий (ассоциативность композиции и свойство тождественного морфизма) можно записать с помощью диаграмм:

Для категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ можно определить двойственную категорию ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$, в которой:

---