Автоморфизм

---

Автоморфизм — изоморфизм между математическим объектом и им самим; отображение, изменяющее объект с сохранением всех его изначальных свойств. Множество всех автоморфизмов объекта образует группу автоморфизмов, которую можно рассматривать как обобщение группы симметрий объекта.

Точное определение автоморфизма зависит от типа математического объекта и контекста. В универсальной алгебре автоморфизм определяется как биективный гомоморфизм алгебраической системы на себя. Тождественное отображение иногда называется тривиальным автоморфизмом; соответственно, нетождественные автоморфизмы называются нетривиальными.

Если автоморфизмы объекта ${\displaystyle X}$ в категории ${\displaystyle C}$ образуют множество, то они образуют группу относительно операции композиции морфизмов — группу автоморфизмов ${\displaystyle \operatorname {Aut} _{C}(X)}$ (или просто ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$, если категория ясна из контекста).

Первый из известных описанных автоморфизмов групп — автоморфизм второго порядка в икосиане, выявленный Гамильтоном в 1856 году^[1].

В теории множеств произвольная перестановка элементов множества ${\displaystyle X}$ является автоморфизмом. Группа автоморфизмов ${\displaystyle X}$ также называется симметрической группой на ${\displaystyle X}$.

Множество целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, рассматриваемое как группа по сложению, имеет единственный нетривиальный автоморфизм: взятие противоположного по знаку. Однако, рассматриваемое как кольцо, оно имеет только тривиальный автоморфизм. Вообще говоря, взятие противоположного является автоморфизмом для любой абелевой группы, но не для кольца или поля.

---