Симметрическая группа

---

Симметрическая группа — группа всех перестановок заданного множества ${\displaystyle X}$ (то есть биекций ${\displaystyle X\to X}$) относительно операции композиции.

Симметрическая группа множества ${\displaystyle X}$ обычно обозначается ${\displaystyle S(X)}$. Если ${\displaystyle X=\{1,2,...,n\}}$, то ${\displaystyle S(X)}$ также обозначается через ${\displaystyle S_{n}}$. Поскольку для равномощных множеств (${\displaystyle |X|=|Y|}$) изоморфны и их группы перестановок (${\displaystyle S(X)\cong S(Y)}$), то для конечной группы порядка ${\displaystyle n}$ группу её перестановок отождествляют с ${\displaystyle S_{n}}$.

Нейтральным элементом в симметрической группе является тождественная перестановка ${\displaystyle \mathrm {id} (x)=x}$.

Хотя обычно группой перестановок (или подстановок) называют саму симметрическую группу, иногда, особенно в англоязычной литературе, группами перестановок множества ${\displaystyle X}$ называют подгруппы симметрической группы ${\displaystyle S(X)}$^[1]. Степенью группы в таком случае называется мощность ${\displaystyle X}$.

Каждая конечная группа ${\displaystyle G}$ изоморфна некоторой подгруппе группы ${\displaystyle S(G)}$ (теорема Кэли).

---