Порядок группы

---

Порядок группы — мощность носителя группы, то есть, для конечных групп — количество элементов группы. Обозначается ${\displaystyle |G|}$ или ${\displaystyle \operatorname {Ord} (G)}$.

Для конечных групп связь между порядком группы и её подгруппы устанавливает теорема Лагранжа: порядок группы ${\displaystyle G}$ равен порядку любой её подгруппы ${\displaystyle H\subseteq G}$, умноженному на её индекс — количество её левых или правых классов смежности:

Важным результатом о порядках групп является уравнение класса, связывающее порядок конечной группы ${\displaystyle G}$ с порядком её центра ${\displaystyle \mathrm {Z} (G)}$ и размерами её нетривиальных классов сопряжённости:

где ${\displaystyle d_{i}}$ — размеры нетривиальных классов сопряжённости. Например, центр симметрической группы ${\displaystyle S_{3}}$ — просто тривиальная группа из одного нейтрального элемента ${\displaystyle e}$, и уравнение превращается в ${\displaystyle |S_{3}|=1+2+3}$.

Порядок элементов конечных групп делит её групповой порядок. Из теоретико-групповой теоремы Коши следует, что порядок группы ${\displaystyle G}$ является степенью целого простого числа ${\displaystyle p}$ в том и только в том случае, когда порядок любого из её элементов является некоторой степенью ${\displaystyle p}$^[1].

---