Конечная группа

---

Конечная группа в общей алгебре — группа, содержащая конечное число элементов (это число называется её «порядком»)^[1]. Далее группа предполагается мультипликативной, то есть операция в ней обозначается как умножение; аддитивные группы с операцией сложения оговариваются особо. Единицу мультипликативной группы будем обозначать символом 1. Порядок группы ${\displaystyle G}$ принято обозначать ${\displaystyle |G|.}$

Конечные группы широко используются как в математике, так и в других науках: криптография, кристаллография, атомная физика, теория орнаментов и др. Конечные группы преобразований тесно связаны с симметрией исследуемых объектов.

Порядок элемента g конечной группы G определяется как минимальное натуральное число m такое, что ${\displaystyle g^{m}=1}$. Порядок определён для каждого элемента конечной группы.

Частное от деления порядка конечной группы ${\displaystyle G}$ на порядок её подгруппы ${\displaystyle H}$ называется индексом этой подгруппы и обозначается ${\displaystyle G:H}$. Например, в вышеприведенной группе кватернионных единиц (порядка 8) есть подгруппа ${\displaystyle \{1;-1\}}$ порядка 2 и индекса 4, а также подгруппа ${\displaystyle \{1;-1;i;-i\}}$ порядка 4 и индекса 2.

Теорема Коши (1815 год): любая группа, порядок которой делится на простое число ${\displaystyle p}$, имеет элемент порядка ${\displaystyle p}$.

Если всякому делителю ${\displaystyle k}$ порядка группы соответствует подгруппа порядка ${\displaystyle k}$, то группа называется лагранжевой. Не всякая группа лагранжева — например, порядок группы вращений додекаэдра равен 60, но подгрупп порядка 15 у неё нет^[3]. Достаточные условия существования подгруппы заданного порядка (при некоторых дополнительных предположениях) устанавливают теоремы Силова. Примером лагранжевой группы является симметрическая группа ${\displaystyle S_{4}}$.

---