Порядок элемента

---

Порядок элемента в теории групп — наименьшее положительное целое ${\displaystyle m}$, такое что ${\displaystyle m}$-кратное групповое умножение данного элемента ${\displaystyle g\in G}$ на себя даёт нейтральный элемент:

Иными словами, ${\displaystyle m}$ — количество различных элементов циклической подгруппы, порождённой данным элементом. Если такого ${\displaystyle m}$ не существует (или, эквивалентно, число элементов циклической подгруппы бесконечно), то говорят, что ${\displaystyle g}$ имеет бесконечный порядок. Обозначается как ${\displaystyle \mathrm {ord} (g)}$ или ${\displaystyle |g|}$.

Изучение порядков элементов группы может дать сведения о её структуре. Несколько глубоких вопросов о связи порядка элементов и порядка группы содержатся в различных проблемах Бёрнсайда, некоторые из них остаются открытыми.

Если всякий не нейтральный элемент в ${\displaystyle G}$ совпадает со своим обратным (то есть ${\displaystyle g^{2}=e}$), то ${\displaystyle \mathrm {ord} (a)=2}$ и ${\displaystyle G}$ является абелевой, поскольку ${\displaystyle ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba}$. Обратное утверждение в общем случае неверно: например, (аддитивная) циклическая группа ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$ целых чисел по модулю 6 — абелева, но число 2 имеет порядок 3:

---