Циклическая группа

---

Циклическая группа — группа ${\displaystyle (G,\cdot )}$, которая может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n — целое число). Математическое обозначение: ${\displaystyle G=\langle a\rangle }$.

Несмотря на своё название, группа не обязательно должна буквально представлять собой «цикл». Может случиться так, что все степени ${\displaystyle g^{n}}$ будут различными. Порождённая таким образом группа называется бесконечной циклической группой и изоморфна группе целых чисел по сложению ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+).}$

Доказательство. Пусть ${\displaystyle G}$ — циклическая группа и ${\displaystyle H}$ — подгруппа группы ${\displaystyle G}$. Если группа ${\displaystyle G}$ тривиальна (состоит из одного элемента), то ${\displaystyle H=G}$ и ${\displaystyle H}$ циклична. Если ${\displaystyle H}$ — тривиальная подгруппа (состоит из единичного элемента или совпадает со всей группой G), то ${\displaystyle H}$ циклична. Далее в ходе доказательства будем считать, что ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ не являются тривиальными.

Пусть ${\displaystyle g}$ — образующий элемент группы ${\displaystyle G}$, а ${\displaystyle n}$ — наименьшее положительное целое число, такое что ${\displaystyle g^{n}\in H}$. Утверждение: ${\displaystyle H=\langle g^{n}\rangle }$

---