Порождающее множество группы

---

Порождающее множество группы — это такое её подмножество, что каждый её элемент может быть представлен в виде конечного произведения элементов из этого подмножества и их обратных. Также используются термины множество образующих^[1] и система образующих.

Одна и та же группа может иметь много разных порождающих множеств. Указание порождающего множества позволяет ввести на группе структуру графа Кэли. Кроме того, группы можно задавать, указывая порождающие множества и соотношения между ними.

Пусть ${\displaystyle S}$ — подмножество группы ${\displaystyle G}$. Подгруппой, порождённой множеством ${\displaystyle S}$, называется множество ${\displaystyle \langle S\rangle }$ всех элементов, которые могут быть представлены в виде конечного произведения элементов из ${\displaystyle S}$ и их обратных. (другими словами, в G нет хотя бы одной собственной подгруппы, содержащей S) Если ${\displaystyle S}$ пусто, то, по-определению, ${\displaystyle \langle S\rangle }$ является тривиальной подгруппой, состоящей только из нейтрального элемента.

Если ${\displaystyle G=\langle S\rangle }$, то говорят, что ${\displaystyle S}$ порождает группу ${\displaystyle G}$. При этом множество ${\displaystyle S}$ называется порождающим, а его элементы — образующими или генераторами (от англ. generators) группы.

Любая группа имеет хотя бы одно порождающее множество: ${\displaystyle G=\langle G\rangle }$.

Если в группе ${\displaystyle G}$ можно выбрать конечное множество образующих, то её называют конечно порождённой. Мощность наименьшего порождающего множества группы называется её рангом.

---