Нейтральный элемент

---

Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.

Пусть ${\displaystyle (M,\cdot )}$ — множество ${\displaystyle M}$ с определённой на нём бинарной операцией «${\displaystyle \cdot }$». Элемент ${\displaystyle e\in M}$ называется нейтральным относительно ${\displaystyle \cdot }$ (умножения), если

В случаях некоммутативных операций, вводят левый нейтральный элемент ${\displaystyle e_{\mathrm {l} }}$, для которого

и правый нейтральный элемент ${\displaystyle e_{\mathrm {r} }}$, для которого

В общем случае может существовать произвольное количество элементов, нейтральных слева или справа. Если одновременно существуют и нейтральный слева элемент ${\displaystyle e_{\mathrm {l} }}$, и нейтральный справа элемент ${\displaystyle e_{\mathrm {r} }}$, то они обязаны совпадать (так как ${\displaystyle e_{\mathrm {r} }=e_{\mathrm {l} }\cdot e_{\mathrm {r} }=e_{\mathrm {l} }}$).

В приведённой в определении мультипликативной нотации нейтральный элемент принято называть единичным элементом или просто единицей по аналогии с одноимённым числом. См. статью «единица (алгебра)» о двусторонних нейтральных элементах умножения в кольцах, полях, и алгебрах над ними.

---