Центр группы

---

Центр группы в теории групп — множество всех таких элементов данной группы, которые коммутируют со всеми её элементами^[1]:

Группа ${\displaystyle G}$ является абелевой в том и только в том случае, когда она совпадает со своим центром: ${\displaystyle G=Z(G)}$; в этом смысле центр группы может быть рассмотрен как мера её «абелевости» (коммутативности).

Говорят, что группа не имеет центра, если центр группы тривиален, то есть состоит только из нейтрального элемента. Элементы центра иногда называют центральными элементами группы.

Центр группы является её подгруппой, причем нормальной. Кроме того, эта подгруппа является характеристической, однако не обязательно вполне характеристической^[англ.].

Если факторгруппа ${\displaystyle G/Z(G)}$ является циклической, то ${\displaystyle G}$ является абелевой. В этом случае выполняется равенство ${\displaystyle G=Z(G)}$, поэтому факторгруппа ${\displaystyle G/Z(G)}$ тривиальна.

По определению, центр группы — это множество элементов, для которых классом сопряжённости каждого элемента является сам элемент.

---