Подгруппа

---

Подгруппа ― подмножество ${\displaystyle H}$ группы ${\displaystyle G}$, само являющееся группой относительно группового умножения на ${\displaystyle G}$.

Подмножество ${\displaystyle H}$ группы ${\displaystyle G}$ является её подгруппой тогда и только тогда, когда:

Для подгруппы ${\displaystyle H}$ и некоторого элемента ${\displaystyle a\in G}$, определяется левый смежный класс ${\displaystyle aH=\{ax:x\in H\}}$. Количество левых смежных классов подгруппы ${\displaystyle H}$ называется индексом подгруппы ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle G}$ и обозначается ${\displaystyle [G:H]}$. Аналогично можно определить правые классы смежности ${\displaystyle Ha=\{xa:x\in H\}}$.

Если левые и правые классы смежности подгруппы совпадают, то она называется нормальной. Это свойство даёт возможность построить факторгруппу ${\displaystyle G/H}$ группы ${\displaystyle G}$ по нормальной подгруппе ${\displaystyle H}$.

---