Конечное расширение

---

Коне́чное расшире́ние — расширение поля ${\displaystyle E\supset K}$, такое, что ${\displaystyle E}$ конечномерно над ${\displaystyle K}$ как векторное пространство. Размерность векторного пространства ${\displaystyle E}$ над ${\displaystyle K}$ называется степенью расширения и обозначается ${\displaystyle [E:K]}$.

Конечное расширение всегда алгебраично. В самом деле пусть ${\displaystyle [E:K]=n}$, так как для любого элемента ${\displaystyle \alpha \in E}$ набор из ${\displaystyle n+1}$ элементов ${\displaystyle 1,\alpha ,\alpha ^{2},...\alpha ^{n}}$ не может быть линейно независимым, значит существует многочлен над ${\displaystyle K}$ степени не выше ${\displaystyle n}$, такой, что ${\displaystyle \alpha }$ является его корнем.

Простое алгебраическое расширение ${\displaystyle E=K(\alpha )}$ является конечным. Если неприводимый многочлен ${\displaystyle \alpha }$ над ${\displaystyle K}$ имеет степень ${\displaystyle n}$, то ${\displaystyle [E:K]=n}$.

---