Неприводимый многочлен

---

Неприводимый многочлен — нетривиальный (то есть не константа) многочлен, неразложимый в произведение нетривиальных многочленов. Неприводимые многочлены являются неприводимыми элементами кольца многочленов. Нетривиальные многочлены, отличные от неприводимых, называются приводимыми.

Многочлен ${\displaystyle p(x_{1},x_{2},..,x_{n})}$ от ${\displaystyle n}$ переменных над полем ${\displaystyle k}$ называется неприводимым над полем ${\displaystyle k}$, если он является простым элементом кольца ${\displaystyle k[x_{1},x_{2},..,x_{n}]}$, то есть не является константой и не представим в виде произведения ${\displaystyle p=qr}$, где ${\displaystyle q}$ и ${\displaystyle r}$ ― многочлены с коэффициентами из ${\displaystyle k}$, отличные от констант.

Многочлен называется абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраическим замыканием поля коэффициентов. Абсолютно неприводимые многочлены одной переменной ― это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени — например, любой многочлен вида

Корни неприводимого многочлена, рассматриваемого для возможности говорить о корнях над расширением базового кольца, называются сопряжёнными. Например, сопряжёнными являются комплексные корни многочлена, неприводимого над полем действительных чисел.

Над кольцом ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ целых чисел первые два многочлена — приводимые, последние два — неприводимые. (Третий вообще не является многочленом над целыми числами).

---