Голоморфная функция

---

Голоморфная функция или однозначная комплексная аналитическая функция (от греч. ὅλος — «весь, целый» и μορφή — «форма»), иногда называемая регулярной функцией — функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$ и комплексно дифференцируемая в каждой точке.

В отличие от вещественного случая, это условие означает, что функция бесконечно дифференцируема и может быть представлена сходящимся к ней рядом Тейлора.

Голоморфные функции также называют иногда аналитическими, хотя второе понятие гораздо более широкое, так как аналитическая функция может быть многозначной, а также может рассматриваться и для вещественных чисел.

Пусть ${\displaystyle U}$ — открытое подмножество в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ и ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ — комплекснозначная функция на ${\displaystyle U}$. Функцию называют голоморфной на множестве ${\displaystyle U}$, если выполняется одно из следующих равносильных условий:

Тот факт, что все эти определения эквивалентны является нетривиальным и весьма замечательным результатом комплексного анализа.

Функцию ${\displaystyle f}$ называют голоморфной в точке ${\displaystyle z_{0}\in U}$, если она голоморфна в некоторой окрестности ${\displaystyle z_{0}}$.

---