Лемма Бореля — Кантелли

---

Ле́мма Боре́ля — Канте́лли в теории вероятностей — это результат, касающийся бесконечной последовательности событий. Лемма часто используется для доказательства предельных теорем. Обычно лемма разбивается на два утверждения, называемыми первой и второй леммами Бореля — Кантелли.

Пусть дано вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ и последовательность событий ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}}$. Обозначим

Тогда если ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{n}\right)}$ сходится, то ${\displaystyle \mathbb {P} (A)=0}$.

Если все события ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ совместно независимы, и ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{n}\right)}$ расходится, то ${\displaystyle \mathbb {P} (A)=1}$.

---