Ряд (математика)
Ряд (бесконе́чная су́мма) в математике — одно из центральных понятий математического анализа, математическая концепция, представляющая собой сумму бесконечного числа слагаемых, упорядоченных в определённой последовательности. В простейшем случае ряд записывается как бесконечная сумма чисел[1][2]:
Слагаемые тогда представляют собой последовательность вещественных или комплексных чисел. Обрывая бесконечный ряд на -м члене, получаем частичные суммы:
Если для последовательности частичных сумм определён конечный предел: то значение называется суммой данного ряда, а сам ряд называется сходящимся (в противном случае — расходящимся)[3].
При более общем подходе ряд понимается как последовательность элементов (членов данного ряда) некоторого топологического векторного пространства, рассматриваемая вместе с множеством частичных сумм членов ряда (частичные суммы определяются так же, как и в числовых рядах). Например, если в качестве элементов ряда используются функции, то говорят о функциональных рядах.
Числовые ряды и их обобщения используются повсеместно в математическом анализе для вычислений, анализа поведения разнообразных функций, в частности при решении алгебраических или дифференциальных уравнений. Разложение функции в ряд можно рассматривать как обобщение задания вектора координатами, эта операция позволяет свести исследование сложной функции к анализу элементарных функций и облегчает численные расчёты[4].
Ряды — незаменимый инструмент исследования не только в математике, но и в физике, информатике, статистике и других науках[4][2][5]. Широкое использование аппарата рядов характерно, например, для небесной механики[6], оптики, теории упругости[7], теории теплопроводности (именно для этого раздела физики были первоначально разработаны ряды Фурье), в теории электромагнетизма[8], в ядерной физике[9], в экономике[10].