Элементарные функции

---

Элемента́рные фу́нкции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций^[1]:

Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.

Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.

Рассматривая функции комплексного переменного, Лиувилль определил элементарные функции несколько шире. Элементарная функция ${\displaystyle y(x)}$ переменной ${\displaystyle x}$ — аналитическая функция, которая может быть представлена как алгебраическая функция ${\displaystyle y(x)=\phi (x,z_{1},...,z_{r}),}$ причём:

Например, ${\displaystyle y(x)=\sin(x)}$ — элементарная функция в этом смысле, поскольку она является алгебраической функцией от показательной функции ${\displaystyle e^{ix}:}$

Вообще, с помощью указанного тождества все тригонометрические и обратные тригонометрические функции можно выразить через логарифмы, экспоненты, арифметические действия, а также операцию взятия квадратного корня. Разумеется, при этом будет использована мнимая единица ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}.}$

---