Лемма Бёрнсайда

---

Лемма Бёрнсайда (или лемма Коши — Фробениуса) — классический результат комбинаторной теории групп, даёт выражение на число орбит в действии группы. Лемма Бёрнсайда лежит в основе доказательства теоремы Редфилда — Пойи.

Пусть ${\displaystyle G}$ — конечная группа, действующая на множестве ${\displaystyle X}$. Тогда число орбит действия равно среднему количеству точек, фиксированных точек в ${\displaystyle X}$ элементами ${\displaystyle G}$.

Точнее, для любого элемента ${\displaystyle g}$ из ${\displaystyle G}$ будем обозначать через ${\displaystyle X^{g}}$ множество элементов ${\displaystyle X}$, оставляемых на месте ${\displaystyle g}$, то есть

здесь ${\displaystyle |X/G|}$ обозначает число орбит действия.

---