Магический квадрат

---

Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — квадратная таблица ${\displaystyle n\times n}$, заполненная ${\displaystyle n^{2}}$ различными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим. Нормальным называется магический квадрат, заполненный натуральными числами от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle n^{2}}$. Магический квадрат называется ассоциативным или симметричным, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна ${\displaystyle n^{2}+1}$.

Нормальные магические квадраты существуют для всех порядков ${\displaystyle n\geq 1}$, за исключением ${\displaystyle n=2}$, хотя случай ${\displaystyle n=1}$ тривиален — квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3.

Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях называется магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой

Пусть имеется квадрат со стороной ${\displaystyle n.}$ Тогда в нём будет ${\displaystyle n^{2}}$ чисел.

С одной стороны, сумма чисел ${\displaystyle S=1+2+3+\ldots +n^{2}={\cfrac {n^{2}}{2}}(n^{2}+1).}$

С другой стороны, ${\displaystyle S=nM.}$

---