Метод конечных разностей

---

Метод конечных разностей — численный метод решения дифференциальных уравнений, основанный на замене производных разностными схемами. Является сеточным методом.

Для решения эллиптической задачи методом конечных разностей на расчётной области строится сетка, затем выбирается разностная схема и для каждого узла сетки записывается разностное уравнение (аналог исходного уравнения, но с использованием разностной схемы), затем производится учёт краевых условий (для краевых условий второго и третьего рода так же строится некоторая разностная схема). Получается система линейных алгебраических уравнений, решая которую в ответе получают приближенные значения решения в узлах.
Главной проблемой метода является построение правильной разностной схемы, которая будет сходиться к решению. Построение схемы выполняется исходя из свойств исходного дифференциального оператора.

Другой метод решения эллиптических задач — метод конечных элементов, имеет как преимущества, так и недостатки перед методом конечных разностей.

${\displaystyle -{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=f(x),~x\in [0,1]}$
${\displaystyle u(0)=u(1)=0}$

Построим сетку с постоянным шагом ${\displaystyle h={\frac {1}{4}}}$. Для аппроксимации выберем трёхточечный шаблон, то есть для аппроксимации производной в точке ${\displaystyle x_{i}}$ будем использовать точки ${\displaystyle \left\{x_{i-1},x_{i},x_{i+1}\right\}}$. Тогда разностное уравнение будет выглядеть следующим образом:

---