Разностная схема

---

Разностная схема — это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой-либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например, краевые условия и/или начальное распределение). Таким образом, разностные схемы применяются для сведения дифференциальной задачи, имеющей континуальный характер, к конечной системе уравнений, численное решение которых принципиально возможно на вычислительных машинах. Алгебраические уравнения, поставленные в соответствие дифференциальному уравнению, получаются применением разностного метода, что отличает теорию разностных схем от других численных методов решения дифференциальных задач (например проекционных методов, таких как метод Галёркина).

Хотя формальное определение не накладывает существенных ограничений на вид алгебраических уравнений, но на практике имеет смысл рассматривать только те схемы, которые каким-либо образом отвечают дифференциальной задаче. Важными понятиями теории разностных схем являются понятия сходимости, аппроксимации, устойчивости, консервативности.

Говорят, что дифференциальный оператор ${\displaystyle L(u)}$, определённый на функциях ${\displaystyle u}$, заданных в области ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{N}}$, аппроксимируется на некотором классе функций ${\displaystyle u\in U}$ конечно-разностным оператором ${\displaystyle R_{h}(u_{h})}$, определённым на функциях ${\displaystyle u_{h}}$, заданных на сетке, зависящей от шага ${\displaystyle h}$, если выполняется условие сходимости

Говорят, что аппроксимация имеет порядок точности ${\displaystyle k}$, если

где ${\displaystyle M}$ — константа, зависящая от конкретной функции ${\displaystyle u\in U}$, но не зависящая от шага ${\displaystyle h}$. Норма, использованная выше, может быть различной, и понятие аппроксимации зависит от её выбора. Часто используется дискретный аналог нормы равномерной непрерывности:

---