Многомерное нормальное распределение

---

Многоме́рное норма́льное распределе́ние (или многоме́рное га́уссовское распределе́ние) в теории вероятностей — это обобщение одномерного нормального распределения. Случайный вектор, имеющий многомерное нормальное распределение, называется гауссовским вектором^[1].

Случайный вектор ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\top }:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ имеет многомерное нормальное распределение, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

Частным случаем многомерного нормального распределения является двумерное нормальное распределение. В этом случае имеем две случайные величины ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ с математическими ожиданиями ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}$, дисперсиями ${\displaystyle \sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2}}$ и ковариацией ${\displaystyle \sigma _{12}}$. В этом случае ковариационная матрица имеет размер 2, её определитель равен

где ${\displaystyle \rho ={\frac {\sigma _{12}}{\sigma _{1}\sigma _{2}}}}$ — коэффициент корреляции случайных величин.

Тогда плотность двумерного невырожденного (коэффициент корреляции по модулю не равен единице) нормального распределения можно записать в виде:

---