Определитель

Определи́тель (детермина́нт) в линейной алгебре — скалярная величина, которая характеризует ориентированное «растяжение» или «сжатие» многомерного евклидова пространства после преобразования матрицей; имеет смысл только для квадратных матриц. Стандартные обозначения определителя матрицы ${\displaystyle A}$ — ${\displaystyle \det(A)}$, ${\displaystyle |A|}$, ${\displaystyle \Delta (A)}$^[1].

Определитель квадратной матрицы ${\displaystyle A}$ размеров ${\displaystyle n\times n}$, заданной над коммутативным кольцом ${\displaystyle R}$, является элементом кольца ${\displaystyle R}$. Эта величина определяет многие свойства матрицы ${\displaystyle A}$, в частности, матрица обратима тогда и только тогда, когда её определитель является обратимым элементом кольца ${\displaystyle R}$. В случае, когда ${\displaystyle R}$ — поле, определитель матрицы ${\displaystyle A}$ равен нулю тогда и только тогда, когда ранг матрицы ${\displaystyle A}$ меньше ${\displaystyle n}$, то есть когда системы строк и столбцов матрицы ${\displaystyle A}$ являются линейно зависимыми.

К понятию определителя близко подошли авторы древнекитайского учебника «Математика в девяти книгах»^[2].

В Европе определители матриц 2 × 2 встречаются у Кардано в XVI веке. Для старших размерностей определение детерминанта дано Лейбницем в 1693 году. Первая публикация принадлежит Крамеру. Теория определителей создана Вандермондом, Лапласом, Коши и Якоби. Термин «определитель» в современном его значении ввёл О. Коши (1815), хотя ранее (1801) «детерминантом» К. Гаусс назвал дискриминант квадратичной формы.

Для квадратной матрицы ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ размера ${\displaystyle n\times n}$ её определитель ${\displaystyle \det A}$ вычисляется по формуле:

Схема расчета определителя матрицы 2×2.

Площадь параллелограмма равна модулю определителя матрицы, образованной векторами — сторонами параллелограмма.