Обратимый элемент

---

Обратимый элемент — элемент кольца с единицей, для которого существует обратный элемент относительно умножения. Другое название — делитель единицы. Также, в основном в переводах с английского, встречается название единица, что может вызывать путаницу с единичным элементом (в английских источниках используются два разных термина: unit element и Identity element^[1]).

Иначе говоря, элемент кольца ${\displaystyle a}$ называется обратимым, если существует элемент ${\displaystyle b}$, такой что

Множество всех обратимых элементов кольца образует мультипликативную группу, называемую группой обратимых элементов (реже группой единиц). Эта группа всегда непустая, так как содержит как минимум единицу кольца.

Если ${\displaystyle a}$ — обратимый элемент, то элементы, представимые в виде ${\displaystyle a\cdot x}$ или ${\displaystyle x\cdot a}$, называются ассоциированными с ${\displaystyle x}$.

Обычно термин делитель единицы и понятие ассоциированного элемента употребляются для областей целостности.

Обратимые элементы кольца R образуют группу U(R) по умножению, группу единиц кольца R. Другие общепринятые обозначение — R^×, R^* и E(R) (от немецкого Einheit).

---