Область целостности

---

Область целостности (или целостное кольцо, или область цельности или просто область) — понятие коммутативной алгебры: ассоциативное коммутативное кольцо без делителей нуля (произведение никакой пары ненулевых элементов не равно 0).

Эта статья следует соглашению о том, что области целостности имеют мультипликативный нейтральный элемент, обычно обозначаемый как 1, но некоторые авторы не требуют, чтобы области целостности имели мультипликативный нейтральный элемент.

Эквивалентное определение: область целостности — это коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является простым. Любая область целостности является подкольцом своего поля частных.

Пусть ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — элементы целостного кольца ${\displaystyle K}$. Говорят, что «${\displaystyle a}$ делит ${\displaystyle b}$» или «${\displaystyle a}$ — делитель ${\displaystyle b}$» (и пишут ${\displaystyle a\mid b}$), тогда и только тогда, когда существует элемент ${\displaystyle x\in K}$ такой, что ${\displaystyle ax=b}$.

Делимость транзитивна: если ${\displaystyle a}$ делит ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle b}$ делит ${\displaystyle c}$, то ${\displaystyle a}$ делит ${\displaystyle c}$. Если ${\displaystyle a}$ делит ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$, то ${\displaystyle a}$ делит также их сумму ${\displaystyle b+c}$ и разность ${\displaystyle b-c}$.

Для кольца ${\displaystyle K}$ с единицей делители единицы, то есть элементы ${\displaystyle a\in K}$, делящие 1, называются также (алгебраическими) единицами. Они и только они в ${\displaystyle K}$ имеют обратный элемент, так что делители единицы называются также обратимыми элементами. Обратимые элементы делят все остальные элементы кольца.

---