Простой идеал

---

Одна из важнейших конструкций коммутативной алгебры, использующих понятие простого идеала, — локализация кольца.

Идеал ${\displaystyle I}$ в кольце ${\displaystyle A}$ называется простым, если факторкольцо ${\displaystyle A/I}$ по нему является областью целостности.

Равносильная формулировка: если ${\displaystyle I\neq A}$ и из ${\displaystyle ab\in I}$ следует ${\displaystyle a\in I}$ или ${\displaystyle b\in I}$, то ${\displaystyle I}$ являет собой простой идеал.

Множество всех простых идеалов кольца ${\displaystyle A}$ образует спектр кольца ${\displaystyle \mathrm {Spec} A}$. В его определение также входит описание топологии и структурного пучка локальных колец, превращающие его в аффинную схему — базовый объект алгебраической геометрии.

Действительно, пусть ${\displaystyle ab\in I}$, ${\displaystyle a\notin I}$. Рассмотрим идеал ${\displaystyle J=I+aA}$. Поскольку ${\displaystyle I}$ максимален, либо ${\displaystyle J=I}$ (что невозможно, поскольку ${\displaystyle a\notin I}$), либо ${\displaystyle J=A}$. Но тогда ${\displaystyle 1\in I+aA}$, и, следовательно, ${\displaystyle b\in bI+baA=I}$.

---