Кольцо частных

---

Кольцом частных S⁻¹R коммутативного кольца R (с единицей) по мультипликативной системе ${\displaystyle S\subset R}$ называется пространство дробей с числителями из R и знаменателями из S с арифметическими операциями и отождествлениями, обычными для дробей.

Используется также термин локализация кольца R по множеству S. Этот термин происходит из алгебраической геометрии: если R — это кольцо функций на алгебраическом многообразии V, то для того, чтобы изучить локальные свойства этого многообразия в точке p, обычно рассматривают множество функций, которые не равны нулю в этой точке и локализуют R по этому множеству.

Обычное обозначение для локализации (или кольца частных) — S⁻¹R, однако в отдельных случаях чаще употребляют другие обозначения. Так, если S — дополнение простого идеала I, локализация R обозначается как R_I (и называется локализацией кольца по простому идеалу), а если S — множество всех степеней элемента f, используется обозначение R_f. Последние два случая являются фундаментальными для теории схем.

Мультипликативной системой в кольце R называется подмножество S в R, содержащее 1, не содержащее нуля и замкнутое по умножению (в кольце R). Для мультипликативной системы S множество ${\displaystyle I_{S}=\{a\in R:\,\exists s\in S,\,as=0\}}$ образует идеал в кольце R. В случае, когда множество S не содержит делителей нуля кольца R, идеал ${\displaystyle I_{S}}$ состоит только из нуля и система S называется регулярной. Если R — целостное кольцо, в нём всякая мультипликативная система регулярна.

---