Схе́ма — математическая абстракция, позволяющая связать алгебраическую геометрию, коммутативную алгебру и дифференциальную геометрию и переносить идеи из одной области в другую. В первую очередь понятие схемы позволяет перенести геометрическую интуицию и геометрические конструкции, такие как тензорные поля, расслоения и дифференциалы, в теорию колец. Исторически теория схем возникла с целью обобщения и упрощения классической алгебраической геометрии итальянской школы XIX века, занимавшейся исследованием полиномиальных уравнений.
Основным аппаратом теории схем являются теория категорий, теория пучков, коммутативная и гомологическая алгебра.
В дальнейшем изложении слово «кольцо» всегда означает «коммутативное ассоциативное кольцо с единицей».
Алгебраические геометры итальянской школы использовали довольно туманную концепцию «общей точки» при доказательстве теорем об алгебраических многообразиях. Предполагалось, что утверждения, верные для общей точки, верны для всех точек многообразия, за исключением небольшого числа «специальных» точек. Эмми Нётер в 1920-х годах предложила способ прояснения этой концепции: в координатном кольце алгебраического многообразия (то есть в кольце полиномиальных функций на многообразии) максимальные идеалы соответствуют точкам многообразия, а немаксимальные простые идеалы соответствуют различным общим точкам — по одной для каждого подмногообразия. Впрочем, Нётер не стала развивать этот подход.
В 1930-х годах Вольфганг Крулль сделал следующий шаг: взяв совершенно произвольное коммутативное кольцо, можно рассмотреть множество его простых идеалов, снабдить топологией Зарисского и развивать геометрию этих более общих объектов. Другие математики не видели смысла в столь большой общности, и Крулль забросил эту идею.
В 1950-х годах Жан-Пьер Серр, Клод Шевалле и Масаёси Нагата с целью приблизиться к доказательству гипотез Вейля, начали использовать сходный подход, рассматривающий простые идеалы как точки. Согласно Пьеру Картье, слово схема было впервые использовано в 1956 году на семинаре Шевалле[1].